Κεφ. 46ο: Λύνω προβλήματα: Στρατηγικές.. υπολογισμών (α)

Στο τεσσαρακοστό έκτο κεφάλαιο των μαθηματικών της Β' Δημοτικού, θα μάθουμε να διαχειριζόμαστε τριψήφιους αριθμούς σε καθημερινά προβλήματα, αξιοποιώντας νοερούς υπολογισμούς. Ειδικότερα να βρίσκουμε το μισό και το διπλάσιο σε απλούς τριψήφιους αριθμούς, να τους αναλύουμε σε ίδιους ή διαφορετικούς όρους ανάλογα με το πρόβλημα που έχουμε να λύσουμε, καθώς και να χρησιμοποιούμε την προπαίδεια για να λύνουμε προβλήματα αγορών.

Πάμε να δούμε ποιες εργασίες και ασκήσεις έχει το βιβλίο μαθητή και το τετράδιο εργασιών, και πώς θα τις λύσουμε.

Πρώτα όμως, ας κοιτάξουμε την θεωρία του μαθήματος:

☛ Για να λύσουμε προβλήματα με μεγάλους αριθμούς γρήγορα, τους αναλύουμε σε ίδιους (200 = 50 + 50 + 50 + 50 ή 4 x 50) ή σε διαφορετικούς (200 = 100 + 80 + 20 , 200 = 130 + 40 + 30) όρους ή χρησιμοποιούμε την προπαίδεια των αντίστοιχων μικρότερων αριθμών.
Π.χ.: 2 x 5 = 10 ,  2 x 50 = 100 , 2 x 500 = 1.000
3 x 5 = 15 , 3 x 50 = 150 , 3 x 500 = 1.500
4 x 5 = 20 , 4 x 50 = 200 , 4 x 500 = 2.000

@ Για να βρούμε γινόμενα μεγάλων αριθμών, χρησιμοποιούμε την προπαίδεια των αντίστοιχων μικρότερων αριθμών.

● Ποιες συσκευασίες μπορούν να διαλέξουν αν θέλουν 1 κιλό (1.000 γραμμάρια); Εκτός από 1 συσκευασία του 1 κιλού, μπορούν επίσης να πάρουν:

▸ 2 συσκευασίες των 500 γρ. (του μισού κιλού), γιατί 2 x 500 = 1.000 γρ. (1 κιλό).

▸ 4 συσκευασίες των 250 γρ., γιατί 4 x 250 = 1.000 γρ. = 1 κιλό.

▸ 8 συσκευασίες των 125 γρ., γιατί 8 x 125 = 1.000 γρ. = 1 κιλό.

Επιπλέον μπορούν να κάνουν και συνδυασμούς στις συσκευασίες:

▸ 1 συσκευασία των 500 γρ. και 2 συσκευασίες των 250 γρ., γιατί 500 + (2 x 250) = 500 + 500 = 1.000 γρ. = 1 κιλό.

▸ 1 συσκευασία των 500 γρ. και 1 συσκευασία των 250 γρ. και 2 συσκευασίες των 125 γρ., γιατί 500 + 250 + (2 x 125) = 750 + 250 = 1.000 γρ. = 1 κιλό.

▸ 3 συσκευασίες των 250 γρ. και 2 συσκευασίες των 125 γρ., γιατί (3 x 250) + (2 x 125) = 750 + 250 = 1.000 γρ. = 1 κιλό.

▸ 2 συσκευασίες των 250 γρ. και 4 συσκευασίες των 125 γρ., γιατί (2 x 250) + (4 x 125) = 500 + 500 = 1.000 γρ. = 1 κιλό.

▸ 1 συσκευασία των 250 γρ. και 6 συσκευασία των 125 γρ., γιατί 250 + (6 x 125) = 250 + 750 = 1.000 γρ. = 1 κιλό.

• Το 1 κιλό γιαούρτι έχει 1.000 γραμμάρια, ενώ το μισό κιλό έχει 500 γραμμάρια, γιατί 1.000γρ. = 500γρ. + 500γρ.

• Πόσες συσκευασίες 250 γρ. ή 125 γρ. πρέπει να αγοράσουμε για να έχουμε: 1 κιλό ή μισό κιλό (500 γρ.):

▸ Για 1 κιλό πρέπει να πάρουμε 4 συσκευασίες των 250 γρ., γιατί 4 x 250 = 1.000 γρ. ή  8 συσκευασίες των 125 γρ., γιατί 8 x 125 = 1.000 γραμμάρια.

▸ Για μισό κιλό πρέπει να πάρουμε 2 συσκευασίες των 250 γρ., γιατί 2 x 250 = 500 γραμμάρια, ή 4 συσκευασίες των 125 γρ., γιατί 4 x 125 = 500 γραμμάρια.

● 1. Τι μπορεί να αγοράσει η Γιώτα με 8€, χωρίς να πάρει ρέστα;

▸ 1ος τρόπος: 1 μπισκότο = 1€, 1 σοκολάτα = 2€, 2 γιαούρτια = (μισό + μισό) = 1€ και 1 κοκαλάκι = 4€, γιατί 1€ + 2€ + 1€ + 4€ = 8€.

▸ 2ος τρόπος: 2 μπισκότα = 2 x 1€ = 2€, 2 σοκολάτες = 2 x 2€ = 4€, 4 γιαούρτια = [(μισό + μισό) + (μισό + μισό)] = 1€ + 1€ = 2€, γιατί 2€ + 4€ + 2€ = 8€.

▸ 3ος τρόπος: 2 σοκολάτες = 2 x 2€ = 4€ και 1 κοκαλάκι = 4€, γιατί 4€ + 4€ = 8€.

▸ 4ος τρόπος: 3 μπισκότα = 3 x 1€ = 3€, 2 σοκολάτες = 2 x 2€ = 4€, 2 γιαούρτια = (μισό + μισό) = 1€, γιατί 3€ + 4€ + 1€ = 8€.

• Αν πάρει μόνο μπισκότα και γιαούρτια;

▸ 1ος τρόπος: 7 κουτιά μπισκότα και 2 κουτιά γιαούρτια, γιατί (7 x 1€) + (μισό + μισό) = 7€ + 1€ = 8€.

▸ 2ος τρόπος: 6 κουτιά μπισκότα και 4 κουτιά γιαούρτια, γιατί (6 x 1€) + (μισό + μισό + μισό + μισό) = 6€ + 2€ = 8€.

▸ 3ος τρόπος: 5 κουτιά μπισκότα και 6 κουτιά γιαούρτια, γιατί (5 x 1€) + (μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό) = 5€ + 3€ = 8€.

▸ 4ος τρόπος: 4 κουτιά μπισκότα και 8 κουτιά γιαούρτια, γιατί (4 x 1€) + (μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό) = 4€ + 4€ = 8€.

▸ 5ος τρόπος: 3 κουτιά μπισκότα και 10 κουτιά γιαούρτια, γιατί (3 x 1€) + (μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό) = 3€ + 5€ = 8€.

▸ 6ος τρόπος: 2 κουτιά μπισκότα και 12 κουτιά γιαούρτια, γιατί (2 x 1€) + (μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό) = 2€ + 6€ = 8€.

▸ 7ος τρόπος: 1 κουτί μπισκότα και 14 κουτιά γιαούρτια, γιατί (1 x 1€) + (μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό + μισό) = 1€ + 7€ = 8€.

• Συζητάμε στην τάξη: Οι συνδυασμοί που μπορούμε να κάνουμε είναι εφτά. Συγκεκριμένα μπορούμε αν πάρουμε από ένα ως εφτά μπισκότα και αντίστοιχα από δύο ως δεκατέσσερα κεσεδάκια γιαούρτι, αγοράζοντάς τα όμως δύο δύο.  

● 2. Πόσα εισιτήρια έκοψε ο ταμίας; Εκτιμώ περίπου: 200 εισιτήρια, γιατί 2 x 5 = 10, 20 x 5 = 100 και 200 x 5 = 1.000.

Υπολογίζω με ακρίβεια: Αφού 5€ x 200 = 1.000€, ο ταμίας έκοψε 200 εισιτήρια.

Συζητάμε στην τάξη τις στρατηγικές που βρήκαμε: Για να βρούμε πόσα εισιτήρια έκοψε ο ταμίας, σκεφτόμαστε ως εξής: Αφού τα έσοδα ήταν 1.000€ και το κάθε εισιτήριο κόστιζε 5€,  πρέπει να βρούμε με ποιον αριθμό αν πολλαπλασιάσουμε το 5, θα βρούμε αποτέλεσμα 1.000.

Επειδή όμως το 1.000 είναι μεγάλος αριθμός και θα χρειαστούμε πάρα πολλές πράξεις, μπορούμε πιο εύκολα να βρούμε με ποιον αριθμό πρέπει να τον πολλαπλασιάσουμε για να βρούμε 10. Βρίσκουμε ότι ο αριθμός αυτός είναι το 2, γιατί 5 x 2 = 10, άρα 5 x 20 = 100 και 5 x 200 = 1.000. Έτσι βρήκαμε ότι οι θεατές ήταν 200.

Κεφ. 46ο: Λύνω προβλήματα: Στρατηγικές.. υπολογισμών (α) - Τετράδιο Εργασιών - Λύσεις Ασκήσεων

● α. Για να χωρίσουμε το 1.000 σε δύο ίσα κομμάτια, σκεφτόμαστε πως, αφού η χιλιάδα έχει 10 εκατοντάδες, αν τη χωρίσουμε στη μέση, στα 2, θα έχουμε από 5 και 5 εκατοντάδες, αφού 5 + 5 = 10, οπότε (5 x 100) + (5 x 100) = 500 + 500 = 1.000, άρα 1.000 = 500 + 500 ή αλλιώς 1.000 : 2 = 500.

Για να χωρίσουμε το 500 στα δύο, χωρίζουμε τις 4 από τις 5 εκατοντάδες που έχει στα δύο (επειδή το 5 δεν διαιρείται ακριβώς με το 2), οπότε: 500 = (100 + 100) + (100 + 100) + 100 = 200 + 200 + 100 Την εκατοντάδα που περισσεύει την χωρίζουμε κι αυτή στα δύο, οπότε: 500 = 200 + 200 + 50 + 50 = 250 + 250.

Για να χωρίσουμε στα δύο το 250, σκεφτόμαστε: 250 = 100 + 100 + 50 = 100 + 100 + 25 + 25 = 125 + 125.

● γ. Πόσες ίδιες συσκευασίες πρέπει να αγοράσει η Άννα;

▸ Γιαουρτάκια: 10 κεσεδάκια, γιατί 10 x 100 = 1.000 γραμμάρια.

▸ Γιαούρτια πήλινα: 2 συσκευασίες, γιατί 2 x 500 = 1.000 γραμμάρια.

▸ Ζυμαρικά: 4 πακέτα, γιατί 4 x 250 = 1.000 γραμμάρια.

▸ Τυριά: 8 κομμάτια, γιατί 8 x 125 = 1.000 γραμμάρια.

● δ. Παρατηρώ και συμπληρώνω τον πίνακα:

▸ Ψωμί: Έμειναν 500 - 150 = 500 - 100 - 50 = 400 - 50 = 350 γραμμάρια.

▸ Τυρί: Έμειναν 900 - 250 = 900 - 200 - 50 = 700 - 50 = 650 γραμμάρια.

▸ Ρύζι: Έφαγαν 1.000 - 800 = 200 γραμμάρια.

▸ Μέλι: Είχαν 900 - 750 = 150 γραμμάρια.

▸ Φιστίκια: Έμειναν 1.000 - 320 = 1.000 - 300 - 20 = 700 - 20 = 680 γραμμάρια.

● ε. Ποιο τυρί είναι πιο ακριβό; Πιο ακριβή είναι η γραβιέρα Νάξου.

• Πόσο κοστίζει το κιλό:

▸ από τη γραβιέρα Κρήτης; Ξέρουμε ότι τα 250γρ. κοστίζουν 4€ και ότι 250γρ.x 4 = 1.000γρ. = 1 κιλό, οπότε πολλαπλασιάζουμε 4€ x 4 = 16€ το κιλό.

▸ από τη γραβιέρα Νάξου; Ξέρουμε ότι το μισό κιλό (500γρ.) κοστίζει 9€ και ότι 500γρ.x 2 = 1.000γρ. = 1 κιλό, οπότε πολλαπλασιάζουμε 9€ x 2 = 18€ το κιλό.

• Αν αγοράσουμε 250 γραμμ. από τη γραβιέρα Νάξου, θα πληρώσουμε: 4€ και 50λ., δηλαδή τα μισά χρήματα απ' ότι κοστίζει το μισό κιλό, γιατί, αφού το μισό κιλό κοστίζει 9€, το μισό του μισού κιλού, τα 250γρ. δηλαδή, θα κοστίζουν τα μισά χρήματα, 9€ = 4€ 50λ. + 4€ 50λ.

• Αν αγοράσουμε μισό κιλό από τη γραβιέρα Κρήτης θα πληρώσουμε: 8€, δηλαδή τα διπλάσια χρήματα απ' όσα κοστίζουν τα 250 γραμμ.

• Αν αγοράσουμε ενάμισι κιλό από κάθε τυρί, πόσο θα πληρώσουμε;

▸ Γραβιέρα Νάξου: 18€ + 9€ = 27€, γιατί το 1 κιλό κοστίζει 18€ και 9€ το μισό, μας κάνει 27€.

▸ Γραβιέρα Κρήτης: 16€ + 8€ = 24€, γιατί το 1 κιλό κοστίζει 16€ και 8€ το μισό, μας κάνει 24€.